Question

已知椭圆C:x^2/16+y^2/9=1和点P(1,2),直线l经过点P并与C交于A、B,弦中点的轨迹方

已知椭圆C:x^2/16+y^2/9=1和点P(1,2),直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点,求当l倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程
一楼是错的

Answer 1

解：设弦中点为M（x，y），交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．
∴（y2-y1）（x-1）=（x2-x1）（y-2），①
由x1216+
y129=1，x2216+y229=1两式相减得(x1-x2) (x1+x2) 16+(y1-y2) (y1+y2) 9=0．
又x1+x2=2x，y1+y2=2y，
∴2x(x1-x2) 16=-2y(y1-y2) 9，②
由①②可得：9x2+16y2-9x-32y=0，③
当点M与点P重合时，点M坐标为（1，2）适合方程③，
∴弦中点的轨迹方程为：9x2+16y2-9x-32y=0．

Answer 2

解：设直线为y-2=k(x-1)
y=kx-k+2
x²/16+(kx-k+2)²/9=1
9x²+16k²x²-32k(k-2)x+16(k-2)²-144=0
(9+16k²)x²-32k(k-2)x+16k²-64k-80=0
xA+xB=32k(k-2)/(9+16k²)
yA+yB=k(xA+xB)-2k+4=32k²(k-2)/(9+16k²)-2k+4
设中点为（x，y）
x=(xA+xB)/2=16k(k-2)/(9+16k²)
y=(yA+yB)/2=-9(k-2)/(9+16k²)
x/y=-16k/9
k=(y-2)/(x-1)
x/y=-16(y-2)/9(x-1)
9(x²-x)+16(y²-2y)=0
9(x-1/2)²+16(y-1)²=73/4
(x-1/2)²/(1/9)+(y-1)²/(1/16)=73/4

Answer 3

楼上做的不对吧？