Question

设函数f(x)=log2(x+1)/(x-1)+log2(x-1)+log2(p-x)。

（1）求f(x)的定义域
（2）问f(x)是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

你好，

(1)原函数的定义域:
(x+1)/(x-1)>0 x>1,x<-1
x-1>0 x>1
p-x>0 x<p
上述集合取交集： x>1或x<-1且x<p

(2)
f(x)=log2(x+1)(p-x)
令g(x)=(x+1)(p-x)=-x^2+(p-1)x+p
由于log2t是增函数，它的最大值就是g(x）取最大值的时候
对称轴x=-b/2a=(p-1)/2
p-(p-1)/2=(p+1)/2
若p=-1
原函数的定义域x<-1
对称轴x=-1
不存在最大值或最小值
若p<-1
原函数的定义域x<p
对称轴x=(p-1)/2<-1<p
存在最大值f((p-1)/2)
若-1<p<1
原函数的定义域x<-1
对称轴x=(p-1)/2>-1>p
不存在最大值或最小值
若p=1
原函数的定义域x<-1
对称轴x=(p-1)/2=0
不存在最大值或最小值
若p>1
原函数的定义域x>1或x<-1
对称轴x=(p-1)/2>0
(p-1)/2-(-1)=(p+1)/2>0
(p-1)/2>(-1)
(p-1)/2-1=(p-3)/2
1. 1<p<3
(p-1)/2<1
不存在最大值或最小值
2.p=3
(p-1)/2=1
不存在最大值或最小值
3.p>3
(p-1)/2>1
存在最大值f((p-1)/2)

综上所述：
若p<-1或p>3时
存在最大值f((p-1)/2)

Answer 2

楼上回答很详细，不过我要和你说一下解题思路，第一题只需要同时满足x+1/x-1，x-1，p-x都大于0即可，第二题在解题之前就应该可以想到，有没有最大最小值肯定是和p的取值有关，答案必然是“当p如何时有最大值，当p如何时有最小值。。。”而不可能是简单的“有”或者“没有”。