Question

如图1，在平面直角坐标系中，点M在x轴正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为弧AE的的中点

上面写不下了AE交y轴于G点，若点A的坐标为（—2,0），AE=8
（1）求C的坐标
（2）连接MG、BC，求证：MG‖BC
(3)如图二，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P。动点F在⊙M的圆周上运动时，OF/PF的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律

Answer 1

（1）连接ME，DM。
易知A,C是弧AE,弧CD的中点，且弧AE=弧CD
∴DC=AE=8∴OC=4∴C坐标为（0，4）或（0，-4）

(2)连接MC，交AE于H。
则MC⊥AE，易知MH=MO,∴MG为∠CMA的角平分线
∵∠CMA=∠ACD+∠CAE(∠CAE=∠ACD)
∴1/2∠CMA=∠ACE∴RT△GOM∽RT△AOC,∵RT△AOC∽RT△OCB
∴RT△GOM∽RT△0CB ∴∠GMO=∠CBO
∴MG‖CB
（3）连接MF。
设圆M的半径为R，在RT△ODM中，DM²=OD²+OM²
R²=4²+(R-2)² R=5 ∴MO=MA-OA=5-2=3
易知△ODM为RT△，∴OD²=OM×OP∴OP=16/3,
OM=25/3 MF=5 OM=3
∵OM/MF=3/5 MF/PM=3/5
∴OM/MF=MF/PM ∴△OMF∽△FMP ∴OF/PF=OM/MF=3/5