Question

奇函数f(x)=m-g(x)/1+g(x)的定义域为R,其中y=g(x)为指数函数且过点(2,9)求函数f(x)的解析式；

判断函数f(x)的单调性，并用定义证明
（+上 上边的，两问！！！）

Answer 1

f(x)=[m-g(x)]/[1+g(x)]是奇函数，则：
f(0)=[m-g(0)]/[1+g(0)]=0，
所以g(0)=m。
又y=g(x)为指数函数，图象过点(2，9)，
设y=g(x)=a^x，(a>0，a不=1）
则g(2)=a^2=9，a=3，
所以g(x)=a^x=3^x，
又 g(0)=m=1。
所以f(x)=[m-g(x)]/[1+g(x)]=[1-3^x]/[1+3^x]。
故f(x)的解析式为：f(x)]=[1-3^x]/[1+3^x]。
函数f(x)]=[1-3^x]/[1+3^x]的定义域为：R，
任取x1，x2属于R，且x1<x2，
f(x1)-f(x2)=[1-3^x1]/[1+3^x1]-[1-3^x2]/[1+3^x2]
=[(1-3^x1)(1+3^x2)-(1-3^x2)(1+3^x1)]/[(1+3^x1)(1+3^x2)]
=2(3^x2-3^x1)/[(1+3^x1)(1+3^x2)]。
因为y=3^x在R上是增函数，所以x1<x2时，3^x2>3^x1>0，
即 3^x2-3^x1>0，且(1+3^x1)>0，(1+3^x2)>0。
所以f(x1)-f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)。
所以根据函数单调性的定义，函数f(x)在R上是单调递减的。