Question

已知直线：√3x-y-4=0与圆x^2+(y-2)^2=25交与AB两点P为该圆上异与AB的动点则三角形ABP的面积最大值为？

RT

Answer 1

答案：32
解：设A、B两点的坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)
解联立方程：√3x-y-4=0与 x^2+(y-2)^2=25
即：x^2+(√3x-6)^2=25
整理得：4x^2-12√3x+11=0
由韦达定理：x1+x2=3√3 , x1*x2=11/4
所以，(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1*x2=(3√3)²-4*(11/4)=27-11=16
又因为：y1-y2=√3(x1-x2)
所以，AB=根号下[(x1-x2)²+(y1-y2)²]=根号下[(x1-x2)²+3(x1-x2)²]=根号下(4*16)=8
S△APB=(1/2)*PA*PB*sin∠APB
由于p点在圆上，∠APB所对应的弧AB不变，所以，sin∠APB是定值
所以，S△APB=(1/2)*PA*PB*sin∠APB《(1/2)*[(PA+PB)/2]²*sin∠APB
当且仅当：PA=PB时，S△APB取得最大值
即：当△APB为等腰三角形时，有最大值
过P作AB垂线交AB于D，则,PD必过圆心O, 且AD=DB=4, OA=5
所以，由勾股定理：OD=3
所以，PD=PO+OD=5+3=8
所以，S△APB的最大值=(1/2)*8*8=32

Answer 2

解:据平面几何知识知:当且仅当p与AB之距离最大时,三角形ABP的面积最大,再作三角代换设:x=5cosa,y=2+5sina,考虑P(5cosa,2+5sina)与直线：√3x-y-4=0的距离得:d=|√3*5cosa-2-5sina-4|/2==|√3*5cosa-5sina-6|/2<=16/2=8,又|AB|=2*(25-9)^(1/2)=8;所以三角形ABP面积=8*8/2= 32