Question

高二数列题

数列{an}中，a1=1，a(n+1)=kan+k^-n(k∈R+)
当k≠1时，设bn=ank^-n，cn=b(n+1)-bn，Sn=c1+c2+...cn，若limSn/S(n+1) <1-k，求k的取值范围

Answer 1

cn=b(n+1)-bn
=a(n+1)k^(-n-1)-ank^(-n)
=k^(-n-1)*[a(n+1)-kan]
=k^(-n-1)*k^(-n)
=k^(-2n-1)
可知，cn为首项为k^(-3)，公比为k^(-2)的等比数列。
limSn/S(n+1)=lim[c1(1-k^(-2n)/(1-k^(-2))]/[c1(1-k^(-2n-2)/(1-k^(-2))]
=lim(1-k^(-2n))/(1-k^(-2n-2))
当k>1时，limSn/S(n+1)=1<1-k显然不成立
当0<k<1时，limSn/S(n+1)
=lim(1-k^(-2n))/(1-k^(-2n-2))
=lim(-k^(2n+2)+k^2)/(-k^(2n+2)+1)=k^2<1-k
即-1/2-√5/2<k<-1/2+√5/2
故k的取值范围为，0<k<-1/2+√5/2