Question

请帮忙解数学题：正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为根号2。设侧棱长1，求证AB1垂直BC1

Answer 1

作A1B1的中点F，连接BF和C1F。
∵C1F⊥A1B1，且C1F⊥BB1，∴C1F⊥面AA1B1B，∴C1F⊥AB1
由tan∠BAB1=1/根号2，tan∠ABF=tan∠BFB1=根号2，可知∠BAB1与∠ABF互余。∴BF⊥AB1
由上面两行的最后两个结论可得AB1⊥面BFC1，∴AB1⊥BC1

Answer 2

设向量AA1=向量c；向量AB=向量a；向量AC=向量b。
向量AB1=a+c 向量BC1=b-a+c
所以AB1×BC1=（a+c)(b-a+c)=根号2 ×根号2×1/2-根号2 ×根号2+0+0-0+根号2 ×根号2×1/2=0
所以向量AB1×BC1=0
所以AB1⊥BC1

Answer 3

作B1D垂直BC1于D延长交BC于E点
经计算，2BE=BC
即E为BC中点，所以AE垂直于面BCC1B1， 所以AE垂直于BC1
又B1E垂直于BC1, 所以BC1垂直于面AEB1
所以BC1垂直于AB1