高数证明题,关于中值定理
设函数f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(2)=0,F(x)=(x-1)f(x),证明:至少存在一点ξ∈(1,2)使得F'(ξ)=0。...
设函数f(x)在[1,2]上连续,在(1,2) 内可导,且f(2)=0,F(x)=(x-1)f(x),证明:至少存在一点ξ∈(1,2)使得F'(ξ)=0。
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证:由题可得F(1)=(1-1)*f(1)=0
F(2)=(2-1)*f(2)=0
又因为f(x)在[1,2]上连续,在(1,2) 内可导,则易证F(x)[1,2]上连续,在(1,2) 内可导
则因为 F(1)=F(2)=0 且F(x)[1,2]上连续,在(1,2) 内可导
所以根据罗尔定理,至少存在一点ξ∈(1,2)使得F'(ξ)=0。
F(2)=(2-1)*f(2)=0
又因为f(x)在[1,2]上连续,在(1,2) 内可导,则易证F(x)[1,2]上连续,在(1,2) 内可导
则因为 F(1)=F(2)=0 且F(x)[1,2]上连续,在(1,2) 内可导
所以根据罗尔定理,至少存在一点ξ∈(1,2)使得F'(ξ)=0。
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函数f(x)在[1,2]上连续,在(1,2) 内可导
因为x-1 连续可导
所以F(x)也可导
F(2)=0 F(1)=0
由这个条件可知 符合 罗尔中值定理
F'(ξ)=[F(2)-F(1)]/(2-1) =0
因为x-1 连续可导
所以F(x)也可导
F(2)=0 F(1)=0
由这个条件可知 符合 罗尔中值定理
F'(ξ)=[F(2)-F(1)]/(2-1) =0
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证明 F1=F2=0所以根据柯西中值定理 一二之间必有一点导数等于零
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