Question

【高一数学】函数

已知函数f(x)=(x^n-x^-n)/(x^n+x^-n) (x>0,n属于正整数）
1，若x大于0，证明函数的奇偶性
2，如果n≥5,2^n>n^2,试比较f(根号2）与(n^2-1)/(n^2+1)（n为自然数，n≥5）的大小
第一问懒得做算了，说一下答案，第二问请简写下过程。

Answer 1

(1)函数是偶函数
f(x)=(x^n-x^-n)/(x^n+x^-n)
f(-x)=((-x)^n-(-x)^-n)/((-x)^n+(-x)^-n) =[(-1)^n*x^n-(-1)^n*x^n]/[(-1)^n*x^n+(-1)^n*x^n]
分n为正偶数和正奇数分析
结果都有f(x)=f(-x)

(2)f(根号2)>(n^2-1)/(n^2+1)
把根号2带入到f(x)中 化简得(2^n-1)/(2^n+1)
因为2^n>n^2
所以
(2^n-1)/(2^n+1)>(n^2-1)/(n^2+1)

原理是比例函数的发大缩小性质
a,b,m>0
有(a+m)/(b+m)>a/b
推广(a+c+d+e+f+...)/(b+c+d+e+f+...)>a/b (其中c,d,e,f...都为正数)

Answer 2

函数是奇函数
f(根号2)=(根号2^n-根号2^-n)/(根号2^n+根号2^-n)
=(2^n-1)/(2^n+1)
n≥5,2^n>n^2
f(根号2)=(2^n-1)/(2^n+1)>(n^2-1)/(n^2+1)