Question

在平面直角坐标系xOy中，若动点P(a,b)到两直线l1：y=x和l2:y=-x+2的距离之和等于2根号2

在平面直角坐标系xOy中，若动点P(a,b)到两直线l1：y=x和l2:y=-x+2的距离之和等于2根号2，求a²+b²的最小值
答案是18

Answer 1

若动点P(a,b)到两直线

l1：y=x和l2:y=-x+2的距离之和等于2根号2

l1,l2交点为T(1,1)

l1,l2的斜率分别为-1,1,

那么l1⊥l2,

P在l1,l2的右侧时，过P分别向l1,l2引垂线，

垂足分别为Q,R，那么|PQ|+|PR|=2√2

过P做y轴的平行线，

与l1,l2交点为C,B如图，

则|PQ|=|TR|,|PR|=|RB|

∴|TR|+|RB|=2√2

其它位置同理，那么点P轨迹为

如图的正方形ABCD

当P在C(3,3)时，

|PO|取得最大值3√2

即a²+b²=|PO|²取得最大值18

Answer 2

最小值为2 L1：y-x=0 L2：y+x-2=0 P到L1距离m=|a-b|/根号2 到L2距离n= |a+b-2|/根号2
则 m+n=2根号2 再解开即可 解得 a=y=1

追问

答案是18