Question

求f（x,y）=x^2+2x^2y+y^2在区域D:x^2+y^2≤1上的最值

Answer 1

f=x^2+2x^2y+y^2, f'<x>=2x+4xy, f'<y>=2x^2+2y,
令 f'<x>=0, f'<y>=0, 得在区域 D:x^2+y^2≤1 上的驻点 (0,0), (±1/√2,-1/2),
f(0,0)=0, f (±1/√2,-1/2)=1/4,
在边界上 x=cost, y=sint,
f=1+2sint(cost)^2=1+2sint[1-(sint)^2]=1+2sint-2(sint)^3,
df/d(sint)=2-6(sint)^2, 令df/d(sint)=0, 得 sint=±1/√3.
f(sint=1/√3)=(1+2√3)/3, f(sint=-1/√3)=)=(1-2√3)/3,
f(x,y)=x^2+2x^2y+y^2在区域D:x^2+y^2≤1上的最大值为(1+2√3)/3，
最小值为(1-2√3)/3。