Question

关于x的方程sin²x+acosx-2a=0有实数解，则实数a的取值范围是

Answer 1

关于x的方程sin²x+acosx-2a=0有实数解，则实数a的取值范围是
解：把原方程改写为： cos²x-acosx+2a-1=0
令cosx=u, -1≤u≤1,则方程变为u²-au+2a-1=0...........(1)
如果(1)有实数解，则必须满足两个条件：
❶判别式△＝a²-4(2a-1)=a²-8a+4=(a-4)²-12≥0,即a≤4-2√3或a≥4+2√3.
❷两根之和－2≤u₁+u₂≤2,由于u₁+u₂=a,故有 -2≤a≤2
❶∩❷ = a∈[-2, 4-2√3]

Answer 2

【反解法】解：易知，a=sin²/(2-cosx)=(1-cos²x)/(2-cosx)=[－(2-cosx)²+4(2-cosx)-3]/(2-cosx).∴4-a=(2-cosx)+[3/(2-cosx)].令2-cosx=t,则1≤t≤3.且4-a=t+(3/t).由“对勾函数”单调性可知，2√3≤t+(3/t)≤4.∴2√3≤4-a≤4.===>0≤a≤4-2√3.

Answer 3

sin²x+acosx-2a=0
1-cos²x+acosx-2a=0
cos²x-acosx+2a-1=0
(cosx-a/2)²-a²/4+2a-1=0
分情况讨论
1、若 -1<=a/2<=1
即 -2<=a<=2
要使该式有实数解，要满足-a²/4+2a-1<=0
a²/4-2a+1>=0
a²-8a+4>=0
a>=4+2根号3 或 a<=4-2根号3
所以 -2<=a<=4-2根号3
当0<=a<=4-2根号3时
因为当cosx=a/2时(cosx-a/2)²-a²/4+2a-1<=0
所以只要当 cosx= -1 时(cosx-a/2)²-a²/4+2a-1>=0，cosx就有实数解，将cosx= -1代入：
1+a+2a-1>=0
3a>=0
a>=0
也就是说当0<=a<=4-2根号3时方程必有实数解
当 -2<=a<0 时则要求当 cosx=1时(cosx-a/2)²-a²/4+2a-1>=0，将cosx= 1代入：
1-a+2a-1>=0
a>=0，无解！
2、若 a/2>1 或 a/2< -1
当 a/2>1，要求当 cosx=1时(cosx-a/2)²-a²/4+2a-1<=0，而当 cosx= -1 时(cosx-a/2)²-a²/4+2a-1>=0，于是得到：
1-a+2a-1<=0
1+a+2a-1>=0
a=0，无解！
当a/2< -1，要求当 cosx=1时(cosx-a/2)²-a²/4+2a-1>=0，而当 cosx= -1 时(cosx-a/2)²-a²/4+2a-1<=0，于是得到：
1-a+2a-1>=0
1+a+2a-1<=0
a无解！
综上所述，只有当 0<=a<=4-2根号3时方程才有实数解，于是实数a的取值范围是[0,4-2根号3]

1楼的方法比较先进，不过似乎做错了
a=(1-t^2)/(2-t)
=(4-t^2-3)/(2-t)
=2+t-3/(2-t)
=4+t-2-3/(2-t)
=4-(2-t)-3/(2-t)
(2-t)+3/(2-t)>=2根号3
且由于-1<=t<=1，1<=2-t<=3
因此(2-t)+3/(2-t)<=4
于是0<=4-(2-t)-3/(2-t)<=4-2根号3

Answer 4

1-(cosx)^2+acosx-2a=0
(cosx)^2-acosx+(2a-1)=0
Δ=a^2-4(2a-1)=a^2-8a+4>=0
(8-√(64-4*4))/2<=a<=(8+√(64-4*4))/2
(4-2√3)<=a<=(4+2√3)

Answer 5

a=sin2x/(2-cosx)=(1-cos2x)/(2-cosx)
令t=cosx
则a=(1-t2)/(2-t) -1<=t<=1
a=(t-2)+4+5/(t-2)
a>=4-2根5 t=2-根5
-3<=t-2<=-1
a<=-20/3
4-2根5<=a<=-20/3