Question

如图，四边形ABCD是正方形，三角形ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将B

如图，四边形ABCD是正方形，三角形ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转６０度得到BN，连接EN，AM，CM。求证三角形AMB全等于三角形ENB。当M点在何处时，AM加CM的值最小；何时AM加BM加CM的值最小，并说明理由。当AM＋BM＋CM的值最小为根号３＋１时，求正方形的边长。

Answer 1

解：⑴∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小
②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM
根据“两点之间线段最短”，得EN ＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，则BF＝√3/2x，EF=x/2
在Rt△EFC中，
∵EF²＋FC²＝EC²，
（x/2）²+（√3/2x+x）²=（√3+1）²
解得x=√2

Answer 2