Question

已知函数f(x)满足：f（1）=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈

已知函数f(x)满足：f（1）=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈r),则f(2010)=？？ 我想知道解析里为什么写令x=1，y=0？x=1的时候y一定等于0吗？还有就是为什么算出f(0)=1/2的时候就可以直接写答案为1/2了？？谢谢了。我会及时采纳的！求各位大神解救！急急急急啊！

Answer 1

解由4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈r),

知该式对任意的x，y都成立，
即x，y的值可以任意取。
令x=1，y=0，
则上式变为4f(1)f(0)=f(1)+f(1)
即4×1/4f(0)=1/4+1/4
即f（0）=1/2
在令y=1上式
变为4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)

即得f（x）=f（x+1）+f（x-1）...........①
由①可得
f（x+1）=f（x+2）+f（x）................②
把②代入①地得
f（x+2）=-f（x-1）
即f（x+3）=-f（x）
故函数的周期T=6
故f（2010）
=f（6×335+0）
=f（0）
=1/2。

追问

就是说假设x=1.y不仅等于0也可以等于1.2.3等等吗？

追答

是的，假设x=1.y不仅等于0也可以等于1.2.3。

追问

哦哦，那为什么演算出f(0)=1/2就可以直接写答案等于1/2了呢？

追答

那是，你根本不理解题意，
答案中还有一部分是证明
由4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)

可以推出f（x）的周期为6，这样才能做出f（2010）=1/2。
由4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)

再令y=1上式
变为4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)

即得f（x）=f（x+1）+f（x-1）...........①
由①可得
f（x+1）=f（x+2）+f（x）................②
把②代入①地得
f（x+2）=-f（x-1）
即f（x+3）=-f（x）
故函数的周期T=6
故f（2010）
=f（6×335+0）
=f（0）
=1/2。

Answer 2

解：f(x+y)=4f(x)f(y)-f(x-y),
令x=1,y=0, f(1)=4f(1)f(0)-f(1), 因为f(1)不=0，所以等式两边同除以f(1), 得f(0)=1/2
f(2)=4f(1)f(1)-f(0)=4·1/4·1/4-1/2=-1/4
f(3)=4f(2)f(1)-f(1)=4·(-1/4)(1/4)-1/4=-1/2
f(6)=4f(3)f(3)-f(0)=4·(-1/2)(-1/2)-1/2=1-1/2=1/2=f(0)
也可以得到f(12)=f(6)=f(0),所以周期=6 f(2010)=f(335·6)=f(0)=1/2

追问

为什么令x=1.y就一定=0呢？？

追答

令y=1是因为已知f(1)=1/4, 所以需要这个1， 而令x=0是因为想知道f(0)=多少，x=0,与y=1没有因果关系，在这个已知式中y并不是x的函数，x,y地位平等，都是自变量。

Answer 3

你之所以问"x=1的时候y一定等于0吗？",是因为你把这里的x,y的关系搞混了.

这里的x和y不是一般认为的y是x的函数,而其实它们之间没有因果关系(只是两个变量而已).
所以可以按需要令x和y为任何数

追问

就是说x=1的情况下并没有一个固定的值？可以等于1.2.3等等吗？

追答

是的.
x=1,y=0是根据解题需要取的.