Question

求证：1，若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于(a，0)与直线x=b(b＞a)对称，则T=4｜b

求证：1，若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于(a，0)与直线x=b(b＞a)对称，则T=4｜b-a｜是它的一个周期
2，若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=a与x=b对称，则T=2｜b-a｜是它的一个周期

Answer 1

求证：若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于(a，0)与直线x=b(b＞a)对称，则T=4｜b-a｜是它的一个周期
证明：∵函数y=f(x)图像既关于点A(a,0)成中心对称，
∴f(x)+f(2a-x)=0
令x=2b-x
∴f(2b-x)+f[2a-(2b-x)]=0 (1)
又∵函数y=f(x)图像关于直线x=b成对称
∴f(2b-x)=f(x)代入（1）
得：f(x)=0-f[2(a-b)+x] （2）
令x=2(a-b)+x
∴f[2(a-b)+x]=0-f[4(a-b)+x]
代入（2）
得：f(x)=f[4(a-b)+x]
∴f(x)是周期函数，且4|a-b|是其一个周期

求证：若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=a与x=b对称，则T=2｜b-a｜是它的一个周期
证明：∵f(a+x)=f(a-x)，令x=x-a，则f(a+x-a)=f(a-x+a)，即f(x)=f(2a-x)
同理，f(x)=f(2b-x)
联立二式，得f(2b-x)=f(2a-x)
令x=2b-x，则f(2b-2b+x)=f(2a-2b+x)
即f(x)=f(2a-2b+x)
周期为│2a-2b│