Question

证明方程x=asinx+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根，且不超过a+b.

寻求最易接受的答案

Answer 1

令f(x)＝x－asinx－b.
f(a+b)＝a＋b－asin(a+b)－b＝a－asin(a+b)≥a－a＝0
若f(a+b)＝0，则a+b是方程x＝asinx＋b的一个正根，且不超过a+b，所以结论成立.
若f(a+b)＞0，又f(0)＝－b＜0，f(x)在[0,a+b]上连续，由零点定理，至少存在一点ξ∈(0,a+b)，使得f(ξ)＝0，即ξ＝asinξ＋b，所以ξ是方程x＝asinx＋b的正根，且不超过a+b.

综上，方程x＝asinx＋b至少有一个正根，且不超过a+b.

Answer 2

证明：
令f(x)=x-asinx-b
易知f(a+b)=a+b-asin(a+b)-b
=a-asin(a+b)≥a-a=0
f(0)=-b<0
因f(x)在[0,a+b]上连续
据连续函数的中值定理
存在t∈（0，a+b],使得f（t）=0
显然t即为x=asinx+b的正根
且t≤a+b

Answer 3

令f(x)=x-asinx-b
有f(a+b)=a-asin(a+b)>=0
又f(0)<0
而该函数连续
故存在k∈（0，a+b],使得f（k)=0
则k即是方程x=asinx+b要求的正根

Answer 4

令y1=x y2=asinx+b
把它们分别看做两条直线
在图像中看他们的交点即可