Question

已知函数f(x)=x+a/x+b,(x≠0), 其中a、b∈ R

已知函数f(x)=x+a/x+b,(x≠0), 其中a、b∈ R.
（1）若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=3x+1 ，求函数f(x)的解析式；
（2）讨论函数f(x)的单调性；
（3）若对于任意的 a∈[1/2,2], 不等式f(x)
≤ 10在[1/4，1]上恒成立，求b的取值范围。

Answer 1

这道题用导数很好做的
(1)f'(x)=1-a/x^2
f'(2)=1-a/4=3,得a=-8
∴f(x)=x-8/x+b
∴f(2)=b-2
b-2=7,b=9
(2)f'(x)=1-a/x^2
第一种情况，a≤0，f'(x)>0,f(x)单调递增
第二种情况，a>0,令f'(x)=0得x=正负根号a
画表格得：
当x∈(-∞,-根号a)时,f(x)单调增
当x∈(-根号a，根号a)时,f(x)单调减
当x∈(根号a，∞)时,f(x)单调减
综上，当a≤0时，f(x)单调递增区间为(-∞,0)∪(0,+∞)

当a<0时，f(x)单调递增区间为(-∞,-根号a)∪(根号a,+∞)

减区间为（-根号a，根号a)
(3)先讨论a，再讨论x
f(x)=x+a/x+b≤10对a∈[1/2,2]恒成立
∵x>0,∴x+2/x+b≤10对x∈[1/4，1]恒成立
令g(x)=x+2/x+b,g'(x)=1-4/x^2<0对x∈[1/4，1]恒成立
g(x)在[1/4，1]减，∴1/4+2*4+b≤10
得b≤7/4

Answer 2

不等式化简为x[x-(1-a)]>0，当a>1，解集为x<1-a∪x>0，若a<1，解集为x<0∪x>1-a，当a=1，解集x≠0. (2)求导得（b-a)/(x b)方，当b>a，函数为单调增函数，(a-1)/(b-1)=5/4，（a 2)/(b 2)=2，得a=-4，b=-3，符合b>a，且x取值有意义。若b<a，函数为单调减函数，（a-1)/(b-1)=2,(a 2)/(b 2)=5/4，得a=5,b=3,经检验，符合条件