Question

50分悬赏 好的必追加 求解一道中学数学压轴题的最后一小问

求解第三问
求详细过程

Answer 1

(3) 抛物线方程：y=a(x+1)²+b
过B(1,0)和C(0,3)
代入方程，求出：a=-1 b=4
抛物线表达式：y=-(x+1)²+4

A：y=0
-(x+1)²+4=0
x+1=±2
x=-1±2
x=-3
A(-3,0)
M：x=(1+0)/2=1/2
y=(0+3)/2=3/2
M(1/2,3/2)
kBC=(3-0)/(0-1)=-3
kMN=-1/kBC=1/3
MN直线方程：y-3/2=1/3(x-1/2)
y=x/3+4/3......(1)
x=-1..............(2)
联解(1)(2)：F(-1,1)
kOF=(1-0)/(-1-0)=-1
kBF=(1-0)/(-1-1)=-1/2
tan∠OFB=(kBF-kOF)/(1-kBF*kOF)
=[-1/2-(-1)]/[1-(-1/2)(-1)]
=1
设P(p,0)
E：x=p
y=-(p+1)²+4
E(p,-(p+1)²+4)
kAC=(3-0)/(0+3)=1
kAE=(-(p+1)²+4-0)/(p+3)
=[4-(p+1)²]/(p+3)
tan∠EAC=(kAE-kAC)/(1-kAE*kAC)
=([4-(p+1)²]/(p+3)-1)/(1-[4-(p+1)²]/(p+3)*1)
=(3(p+3)-(p+1)²)/(p+3-[4-(p+1)²])

=(3p+9-p²-2p-1)/(p+3-4+p²+2p+1)
=(-p²+p+8)/(p²+3p)
∵∠EAC=∠OFB
∴(-p²+p+8)/(p²+3p)=1
-p²+p+8=p²+3p
2p²+2p=8
p²+p=4
(p+1/2)²=17/4
p=(-1±√17)/2
∵(-1+√17)/2>1（超出B点）
∴P((-1-√17)/2,0)

Answer 2

（3）抛物线为：y=-x²-2x+3，A点(-3,0)，AC斜率=1，BC斜率=-3，直线MN斜率=1/3，M点(1/2,3/2)，直线MN：y=x/3+4/3，F点(-1,1)，|OF|=√2，|BF|=√5，|OB|=1，在△OFB中余弦定理：1=2+5-2√10cos∠OFB，cos∠OFB=3/√10，sin∠OFB=1/√10，tan∠OFB=1/3，∠EAC=∠OFB，∠EAO=∠EAC+∠CAO=∠OFB+∠CAO，tan∠EAO=(1/3+1)/(1-1/3)=2，直线AE：y=2x+6，与y=-x²-2x+3联立，解得点E(-1,4)，点P的坐标(-1,0)。

Answer 3

像楼上那样用解析法可以轻松做出来，不过这应该是初中的题
按初中几何方法也很容易证：
首先要知道角EAC是独立的，和抛物线没多大关系，角OBF是定角
证明：在△ABC中，FM为BC垂直平分线，又由第一问知道，F在抛物线对称轴上，抛物线对称轴即AB垂直平分线
这里用到一个引理：三角形三条垂直平分线（角平分线，中位线）交于一点
F为2条垂直平分线交点，故必然经过第三条垂直平分线
又△OAC为等腰直角三角形，垂直平分线必定经过顶点O，即OF为AC垂直平分线
然后就很好做了，出来一堆45度，根据勾股定理，得FB=根号5，MB=二分之根号10
故△FMB也为等腰直角三角形，即角CBE=角FOC=45
所以有角OFB=角OCB
各加相邻的45度的角
即角EAB=角BCA
又F为△ABC垂直平分线交点
以F为圆心，FB为半径，作外接圆，必过ABC三点
角BCA其实就是弦AB的圆周角
接下来会做了吗？
纯手打
完美的证明