Question

如图，点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四边上，四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位

如图，点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四边上，四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？

Answer 1

正方形EFGH的面积最小
设正方形ABCD的边长为a，AE＝x，则BE=a-x

则可证明AE=BF=CG=DH=x,AH=BE=CF=DG=a-x

所以：EF^2=BE^2+BF^2=(a-x)^2+x^2=2x^2-2ax+a^2
即：正方形EFGH的面积

S=EF^2=2x^2-2ax+a^2=2(x-a/2)^2+a^2-a^2*/2=2(x-a/2)^2+a^2/2
即：当x=a/2（即E在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，最小的面积为a^2/2

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Answer 2

∵ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵EFGH是正方形
∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°
EF=FG=GH=HE
∵∠AEH+∠AHE=∠DHG+∠HGD=∠CGF+∠CFG=∠BFE+∠BEF=90°
∴∠AEH=∠DHG=∠CGF=∠BFE
∠AHF=∠DGH=∠CFG=∠BEF
∴△AHE≌△DGH≌
△CFG≌△BEF
AE=BF=CG=DH
设AE=BF=X，
那么BE=1-X
∴根据勾股定理:
EF²=BF²+BE²=X²+(1-X)²
即S正方形EFGH
=2X²-2X+1
=2(X-1/2)²+1/2
∴X=1/2时，有最小值

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Answer 3

看不见图，
答：当点E位于边线的中点时，正方形EFGH的面积最小。