Question

一道高中不等式解法里的题目如下：请大虾们帮忙看看，要过程哦，谢谢啦！

用铁锤以均匀的力敲击铁钉入木板。在每次敲击中，铁钉受到的平均阻力后一次是前一次的k倍，而进入木板的钉子长度为前一次的1/k。已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度超过钉长的4/7，问：铁钉第三次敲击受到的平均阻力超过第一次的多少倍？

Answer 1

不等式，肯定要掌握基本的不等式噻！ %D%A不等式的题也是千变万化的，很灵活，不多看点题肯定是不行的。 %D%A象柯西不等式，排序不等式都是很重要的不等式。经常考虑一题有没有多种的证明方法，时常这么考虑是有好处的。敢说不懂柯西不等式的人在不等式里根本没入门，不懂排序不等式的人根本不入流。 %D%A先给你把两个不等式证明了！ %D%A柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用 %D%A柯西不等式的一般证法有以下几种： %D%A■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2. %D%A我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) %D%A则我们知道恒有 f(x) ≥ 0. %D%A用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. %D%A于是移项得到结论。 %D%A■②用向量来证. %D%Am=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn) %D%Amn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX． %D%A因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2) %D%A这就证明了不等式． %D%A柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法． %D%A[编辑本段]【柯西不等式的应用】 %D%A柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。 %D%A■巧拆常数： %D%A例：设a、b、c 为正数且各不相等。 %D%A求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c) %D%A分析：∵a 、b 、c 均为正数 %D%A∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9 %D%A而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) %D%A又 9=(1+1+1)(1+1+1) %D%A证明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 %D%A又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立 %D%A∴原不等式成立。 %D%A排序不等式是高中数学竞赛大纲、新课标 要求的基本不等式。 %D%A设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n-1+……+ a n b 1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。 %D%A排序不等式常用于与顺序无关的一组数乘积的关系。可以先令a1>=a2>=a3>=...>=an，确定大小关系. %D%A使用时常构造一组数，使其与原数构成乘积关系，以便求解。适用于分式、乘积式尤其是轮换不等式的证明。 %D%A以上排序不等式也可简记为： 反序和≤乱序和≤同序和. %D%A证明时可采用逐步调整法。 %D%A例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2 ）*（b 1 -b 2 ）≥0，这由题知成立。 %D%A依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。 %D%A时常考虑不等式可否取等也是有必要的！ %D%A当0<A≤π/2 %D%A求函数f(x)=sinA+4/sinA的值域！ ，你是否能做得来？%D%A利用函数单调性是解决不等式的很好办法，当你看到关于n的不等式，要自觉想到函数单调性的应用。%D¯(n)=1+1/2+1/3+.....1/n %D%A求证f(2^n)大于 (n+2)/2 %D%An是大于等于2的正整数%D%A设g(n)=1+1/2+1/3+…+1/2^n-(n+2)/2 %D%A只需证明g(n)恒大于零！ %D%Ag(2)=1+1/2+1/3+1/4-2>0 %D%Ag(n+1)-g(n) %D%A=1/(2^n+1)+1/(2^n+2)+…1/2^(n+1)-(n+3)/2 %D%A+(n+2)/2 %D%A>2^n*1/2^(n+1)-1/2=1/2-1/2=0 %D%Ag(n)单调递增。 %D%Ag(n)>g(2)>0 %D%A即f(2^n)-(n+2)/2 >0 %D%A∴命题得证。 %D%A不等式是千变万化的，不是你想像的那么简单，书上那些题只是课堂练习，不要止步不前。%D%A多看，多练，多想是非常必要的，最好还得有点经典的笔记。%D%A如果你学习光按课本来，那么你的学习是危险的，想起以前学武之人还想点什么武功秘籍的吗，你干嘛不学习一下呢？有时间多看点课外读物，想竞赛之类的也去看看。%D%A相信你！也祝你学习进步。