Question

如图，直线BE交x轴正半轴于点B（a，0），交y轴正半轴于点E（0，b），且a、b满足a?4+|4?b|＝0，点A为BE的

如图，直线BE交x轴正半轴于点B（a，0），交y轴正半轴于点E（0，b），且a、b满足a?4+|4?b|＝0，点A为BE的中点，（1）写出A点坐标为______；（2）如图，若C为线段OB上一点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连BD，求证：OA∥BD；（3）如图，P为x轴上B点右侧任意一点，以EP为边作等腰Rt△EPM，其中PE=PM，直线MB交y轴点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变；求其值；若变化，求线段OQ的取值范围．

Answer 1

（1）∵

a?4

+

.

b?4

.

＝0
∴a=4，b=4，
∴△EOB为等腰直角三角形．
∴点A的坐标为（2，2），
故答案为（2，2）；

（2）∵以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，
∴∠CAB+∠BAD=45°，
又∵∠CDB+∠BAD+∠ADC=90°，
∴∠CAB=∠CDB，
∴∠ABD=90°=∠OAB，
∴OA∥BD；

（3）过M作MD⊥x轴，垂足为D．
∵∠EPM=90°，
∴∠EPO+MPD=90°．
∵∠QOB=∠MDP=90°，
∴∠EPO=∠PMD，∠PEO=∠MPD．
在△PEO和△MPD中，

∠EPO＝∠PMD ∠PEO＝∠MPD EP＝MP

∴△PEO≌△MPD，
MD=OP，PD=AO=BO，
OP=OA+AP=PD+AP=AD，
∴MD=AD，∠MAD=45°．
∵∠BAO=45°，
∴△BAQ是等腰直角三角形．
∴OB=OQ=4．
∴无论P点怎么动OQ的长不变．