Question

已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式

已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵f（x）=e^x+e^-x，
∴f（-x）=e^-x+e^x=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；
（2）解：若关于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，
即m（e^x+e^-x-1）≤e^-x-1，
∵x＞0，
∴e^x+e^-x-1＞0，
即m≤

e?x?1

ex+e?x?1

在（0，+∞）上恒成立，
设t=e^x，（t＞1），则m≤

1?t

t2?t+1

在（1，+∞）上恒成立，
∵

1?t

t2?t+1

=-

t?1

(t?1)2+(t?1)+1

=-

1

t?1+ 1 t?1 +1

≥-

1

3

，当且仅当t=2时等号成立，
∴m≤-

1

3

．