Question

（2014?高淳区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的一个交点为A（1，0），另一个交点为B，

（2014?高淳区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的一个交点为A（1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C（0，-2）．（1）b=______，点B的坐标为（______，______）；（均用含a的代数式表示）（2）若a＜2，试证明二次函数图象的顶点一定在第三象限；（3）若a=1，点P是抛物线在x轴下方的一个动点（不与C重合），连结PB，PC，设所得△PBC的面积为S，试求S的取值范围．

Answer 1

（1）解：∵二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴的一个交点为A（1，0），
∴a+b+c=0，
∵图象与y轴的交点为：C（0，-2），
∴c=-2，
∴b=2-a，
则抛物线解析式为：y=ax²+（2-a）x-2，
y=0时，0=ax²+（2-a）x-2，
解得：x₁=1，x₂=-

2

a

，
∴B点坐标为：（-

2

a

，0），
故答案为：2-a，（-

2

a

，0）；

（2）证明：∵二次函数图象过（1，0）点，且与y轴的交点坐标是（0，-2），
∴可（1）得：c=-2，b=2-a，
∴y=ax²+（2-a）x-2=a（x+

2?a

2a

）²-

(a+2)2

4a

，
∴抛物线顶点坐标为：（-

2?a

2a

，-

(a+2)2

4a

）
∵0＜a＜2，
∴2a＞0，4a＞0，2-a＞0，（a+2）²＞0，
∴-

2?a

2a

＜0，-

(a+2)2

4a

＜0．
∴该二次函数图象的顶点一定在第三象限．

（3）解：当a=1时，y=x²+x-2，此时点B的坐标为（-2，0）．
当0＜x＜1时，0＜S＜S_△ABC，
∵S_△ABC=

1

2

×AB×OC=

1

2

×3×2=3，
∴此时，0＜S＜3．
当-2＜x＜0时，可设点P的坐标为：（x，x²+x-2）
连结PO，则S=S_△POB+S_△POC-S_△BOC
∴S=

1

2

×2×（-x²-x+2）+

1

2

×2×（-x）-

1

2

×2×2
=-x²-2x
=-（x+1）²+1，
∵当x=-1时，S取最大值1，且满足-2＜-1＜0，
∴此时，0＜S≤1．
综上所述，S的取值范围为0＜S＜3．