Question

已知函数f（x）=1+sinxcosx，g(x)＝cos2(x+π12)．（I）设x=x0是函数y=f（x）的图象上一条对称轴，求g(x

已知函数f（x）=1+sinxcosx，g(x)＝cos2(x+π12)．（I）设x=x0是函数y=f（x）的图象上一条对称轴，求g(x 0 )的值；（II）求使函数h(x)＝f(ωx2)+g(ωx2)(ω＞0)在区间[?2π3，π3]上是增函数的ω的最大值．

Answer 1

（I）f(x)＝1+sinxcosx＝1+

1

2

sin2x，g(x)＝cos2(x+

π

12

)＝

1

2

[1+cos(2x+

π

6

)]，（2分）
∵x=x₀是函数f（x）图象的一条对称轴，
∴2x0＝kπ+

π

2

(k∈Z)，（4分）
∴g(x0)＝cos2(x0+

π

12

)＝

1

2

[1+cos(2x0+

π

6

)]＝

1

2

[1+cos(kπ+

2π

3

)]
当k为偶数时，g(x0)＝

1

4

；当k为奇数时，g(x0)＝

3

4

.（6分）
（II）h(x)＝

3

2

+

1

4

sinωx+

3

4

cosωx=

1

2

sin(ωx+

π

3

)+

3

2

（8分）
∵ω＞0，∴当x∈[?

2π

3

，

π

3

]时，ωx+

π

3

∈[?

2ωπ

3

+

π

3

，

ωπ

3

+

π

3

]
∴[?

2ωπ

3

+

π

3

，

ωπ

3

+

π

3

]?[2kπ?

π

2

，2kπ+

π

2

](k∈Z)，（10分）
∴

? 2ωπ 3 + π 3 ≥2kπ? π 2 ωπ 3 + π 3 ≤2kπ+ π 2

，即

ω≤?3k+ 5 4 ω≤6k+ 1 2

，
∵ω＞0，∴

?3k+ 5 4 ＞0 6k+ 1 2 ＞0

，?

1

12

＜k＜

5

12

，
∵k∈Z，∴k=0，∴ω≤

1

2

，ω的最大值是

1

2

（12分）