Question

如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3）．（

如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ACO与sin∠BCO的乘积；（3）在线段BC边上是否存在点P，使得以B、O、P为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（4）在对称轴上是否存在一点P，使|PC-PB|的值最大，请求出点P的坐标．

Answer 1

解答：解：根据题意可得
（1）y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；

（2）解方程-x²+2x+3=0得
x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OA=1，OC=3，OB=3，
∴BC=3

2

，
∴tan∠ACO?sin∠BCO=

1

3

×

3

3 2

=

2

6

；

（3）①当△BPO∽△BAC时，有
BP：OB=BA：CB，
∴BP=2

2

，
过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，
∵PG∥OC，
∴△BPG∽△BCO，
∴PG：OC=BP：BC，
∴PG=2，
在Rt△BPG中，BG=2，∴OG=1，
∴P点坐标是（1，2），
②当△BPO∽△BCA时，同理可求P(

3

4

，

9

4

)；

（4）存在，理由是：
利用对称性原理：求出C点的对称点N（2，3），
过B、N作直线，交对称轴于点P，
设直线BN的方程是y=ax+b，那么

3a+b＝0 2a+b＝3

，
解得y=-3x+9，
当x=1时，y=6，
故P点坐标是（1，6）．