Question

高中数学周期函数的关系式？对称点那个式子还有求对称轴的式子，举个例子，y=f(x) 有f(x+a)

高中数学周期函数的关系式？对称点那个式子还有求对称轴的式子，举个例子，y=f(x) 有f(x+a)=f(b-x),对称轴是x=(a+b)/2 问题二 y=f(x+a) 与 y=f(b-x)关于x=(b-a)/2

Answer 1

1. 如果函数满足 f(x+a) = f(b-x), 则函数图像关于 x = (a+b)/2 对称

首先注意到对任意 x,

(x+a)+(b-x) 恒等于 a+b, 故点 (x+a,f(x+a)) 与点 (b-x,f(b-x)) 关于 x = (a+b)/2 对称,

又注意到 x 变动时，x+a 可以跑遍 f 的定义域，故 f 关于 x = (a+b)/2 对称

2. 如果函数满足 f(x+a) = f(x+b), 则函数有周期 |a-b|, 其中 a≠b

这一个和上一个的区别在于 x+a+x+b 并不恒等于一个常数，故没有对称性可言。但是它们相减

是常数，而且差这个常数的两个自变量有相同的函数值，这时可以谈论周期性

3. 如果函数满足 f(x+a) + f(b-x) = c，则函数图像关于点 ((a+b)/2, c/2) 对称

证明类似于 1，特别地，当 c = 0 时，函数图像关于 ((a+b)/2, 0) 对称

更特别地，当 a=b=c=0 时，函数图像关于原点对称，这时 f 就是奇函数

4. 如果函数关于点 (a,c), (b,c) 对称 (a≠b), 则函数有周期 2 |a-b|

5. 如果函数关于点 (a,c), 直线 x = b 对称 (a≠b)，则函数有周期 4 |a-b|

Answer 2

数学

Answer 3

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Answer 4

f(x-a)=-f(x),T=2a