Question

已知函数f（x）=x|x+m|+n，其中m，n∈R．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）设n=-4，且f

已知函数f（x）=x|x+m|+n，其中m，n∈R．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）设n=-4，且f（x）＜0对任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围．．

Answer 1

（I）若m 2 +n 2 =0，即m=n=0，则f（x）=x?|x|， ∴f（-x）=-f（x）．即f（x）为奇函数．（2分） 若m 2 +n 2 ≠0，则m、n中至少有一个不为0， 当m≠0．则f（-m）=n，f（m）=n+2m|m|，故f（-m）≠±f（m）． 当n≠0时，f（0）=n≠0， ∴f（x）不是奇函数，f（n）=n+|m+n|?n，f（-n）=n-|m-n|n，则f（n）≠f（-n）， ∴f（x）不是偶函数． 故f（x）既不是奇函数也不是偶函数． 综上知：当m 2 +n 2 =0时，f（x）为奇函数； 当m 2 +n 2 ≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．（5分） （Ⅱ）若x=0时，m∈R，f（x）＜0恒成立；（6分） 若x∈（0，1]时，原不等式可变形为 |x+m|＜ 4 x ．即 -x- 4 x ＜m＜-x+ 4 x ． ∴只需对x∈（0，1]，满足 m＜ (-x+ 4 x ) min ① m＞ (-x- 4 x ) max ② （8分） 对①式， f 1 (x)=-x+ 4 x 在（0，1]上单调递减， ∴m＜f 1 （1）=3．（10分） 对②式，设 f & 2 (x)=-x- 4 x ，则 f 2 ′ (x)= - x 2 +4 x 2 ＞0 ．（因为0＜x＜1） ∴f 2 （x）在（0，1]上单调递增， ∴m＞f 2 （1）=-5．（12分） 综上所知：m的范围是（-5，3）．（13分）．