Question

如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，CF为外角的平分线，AE=EF，求证：AE⊥EF

如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，CF为外角的平分线，AE=EF，求证：AE⊥EF．

Answer 1

解：过点F作FG⊥CG于点G
设正方形的边长为a，BE=x，FG=y；
∵四边形ABCD为正方形，且CF为外角平分线，
∴∠FCG=45°，故∠CFG=∠FCG=45°；
∴CG=FG=y，EG=a-x+y；
∵AE=EF，
∴AE²=EF²；
由勾股定理得：AE²=a²+x²，EF²=（a-x+y）²+y²，
故a²+x²=（a-x+y）²+y²，
∵（a-x+y）²+y²=（a-x）²+2（a-x）y+y²+y²
=a²-2ax+x²+2ay-2xy+2y²
=a²+x²-2（x-y）（a+y）
∴a²+x²=a²+x²-2（x-y）（a+y）
∴2（x-y）（a+y）=0，
∵a+y＞0，
∴x-y=0，x=y
在Rt△ABE与Rt△EGF中，

AE＝EF BE＝FG

，
∴△ABE≌△EGF（HL），
∴∠BAE=∠GEF；
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠GEF=90°，
∴∠AEF=180°-90°=90°，
故AE⊥EF．

Answer 2

延长FC交AB延长线于H，连接EH。显然，△BCH为等腰直角三角形，CB为线段AH的中垂线，则AE=EH，又因为AE=EF，所以EH=EF。可以得到∠EFC=∠EHC=α（设为α方便观察），则∠FEC=45°-α（外角减一内角）；∠EAB=∠EHB=45°-α（对称，等腰直角三角形）；这两个角相等，后面就迎刃而解了！