Question

如图，AB为⊙O的直径，D为弦BC的中心，连接OD并延长交过点C的切线于点P，连接AC。求证：△CPD∽△ABC。

如图，AB为⊙O的直径，D为弦BC的中心，连接OD并延长交过点C的切线于点P，连接AC。求证：△CPD∽△ABC。

Answer 1

证明：连接OC， ∵PC是⊙O的切线，点C为切点， ∴∠OCP=90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴AC⊥CD，又点D为弦BC的中点， ∴OP⊥CD， ∴∠P+∠POC=90°，∠OCD+∠POC=90° ∴∠P=∠OCD， ∵OC=OB， ∴∠OCD=∠B， ∴∠P=∠B， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CDP=∠ACB=90°， ∴△CDP∽△ABC。