Question

已知ab≠0,求证a ＋b=1的充要条件是a³＋b³＋ab－a²－b²=0.

Answer 1

充分性：
已知ab≠0且a³＋b³＋ab－a²－b²=0.
由a³＋b³＋ab－a²－b²=0
上式左边=（a+b)(a^2-ab+b^2)-(a^2-ab+b^2)
=(a^2-ab+b^2)(a+b-1)
=[(a-b)^2+ab](a+b-1)=右边=0
因为ab≠0，所以[(a-b)^2+ab]≠0，那么(a+b-1)=0 所以a ＋b=1。得证。
必要性：a ＋b=1且有ab≠0.
所以有（a+b)^3=1^3=1,即：a³＋b³＋3ab(a+b)=1.又因为a ＋b=1
a³＋b³＋3ab=1。-------(1)
(a+b)^2=1^2=1,即：a²+b²+2ab=1。----------(2)
用（1）式减（2）式结果：a³＋b³＋3ab－a²－b²-2ab=a³＋b³＋ab－a²－b²=1-1=0.
证毕。
所以ab≠0 ，a ＋b=1的充要条件是a³＋b³＋ab－a²－b²=0.

Answer 2

必要性:
a³＋b³＋ab－a²－b²=0.
(a+b)³-3ab(a+b)-(a+b)²+3ab=0
(a+b)²[(a+b)-1]-3ab[(a+b)-1]=0
(a+b-1)[(a+b)²-3ab]=0
(a+b-1)(a²-ab+b²)=0
a+b-1=0 或a²-ab+b²=0
ab≠0,
所以a+b-1=0 ,a²-ab+b²≠0,
a+b=1
充分性:
a ＋b=1
a³＋b³＋ab－a²－b²=0.
(a+b)³-3ab(a+b)-(a+b)²+3ab=0
1-3ab-1+3ab=0

Answer 3

a+b=1，
a=1-b
充要条件b不等于1，