设函数f（x）=x+λx，其中常数λ＞0．（1）判断函数的奇偶性；（2）若λ=1，判断f（x）在区间[1，+∞）上
设函数f（x）=x+λx，其中常数λ＞0．（1）判断函数的奇偶性；（2）若λ=1，判断f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；（3）若f（x）在区间[1，...
设函数f（x）=x+λx，其中常数λ＞0．（1）判断函数的奇偶性；（2）若λ=1，判断f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；（3）若f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求常数λ的取值范围．
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（1）由于函数f（x）=x+
，其中常数λ＞0，故函数的定义域为R，
且f（-x）=-x+
=-f（x），故函数为奇函数．
（2）函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．
证明：任取1≤x1＜x2，∵f（x1）-f（x2）=（x1+
）-（x2+
）=（x1-x2）+
=（x1-x2）?
，
由1≤x1＜x2，可得 x1-x2 ＜0，x1?x2，＞1，∴f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．…（10分）
（3）任取1≤x1＜x2，∵f（x1）-f（x2）=（x1+
）-（x2+
）=）=（x1-x2）+λ?
=（x1-x2）?
，
且函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调递增．∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴x1?x2-λ＞0 对1≤x1＜x2 恒成立，∴λ＜x1?x2，再由1＜x1?x2，可得0＜λ≤1．…（16分）
| λ |
| x |
且f（-x）=-x+
| λ |
| ?x |
（2）函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．
证明：任取1≤x1＜x2，∵f（x1）-f（x2）=（x1+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| x2?x1 |
| x1?x2 |
| x1?x2?1 |
| x1?x2 |
由1≤x1＜x2，可得 x1-x2 ＜0，x1?x2，＞1，∴f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．…（10分）
（3）任取1≤x1＜x2，∵f（x1）-f（x2）=（x1+
| λ |
| x1 |
| λ |
| x2 |
| x2?x1 |
| x1?x2 |
| (x1?x2?λ) |
| x1?x2 |
且函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调递增．∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴x1?x2-λ＞0 对1≤x1＜x2 恒成立，∴λ＜x1?x2，再由1＜x1?x2，可得0＜λ≤1．…（16分）
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