Question

已知数列{an}前n项的和为Sn，且有Sn+1=kSn+2 （n∈N*），a1=2，a2=1．（1）试证明：数列{Sn-4}是等比数

已知数列{an}前n项的和为Sn，且有Sn+1=kSn+2 （n∈N*），a1=2，a2=1．（1）试证明：数列{Sn-4}是等比数列，并求an；（2）?n∈N*，不等式atSn+1?1atan+1?1＜12恒成立，求正整数t的值；（3）试判断：数列{an}中任意两项的和在不在数列{an}中？请证明你的判断．

Answer 1

（1）由S_n+1=kS_n+2（n∈N^*），a₁=2，a₂=1，令n=1得k=

1

2

（1分）
∴S_n+1=

1

2

S_n+2，即S_n+1-4=

1

2

（S_n-4），（2分）
因为S₁-4=-2，
∴{S_n-4}是等比数列（3分）
∴S_n-4=（-2）（

1

2

）^n-1即S_n=4[1-（

1

2

）ⁿ]，从而求得a_n=（

1

2

）^n-2（5分）
（2）由

atSn+1?1

atan+1?1

＜

1

2

得

atSn+1?1

atan+1?1

?

1

2

＜0即

2(atSn+1?1)?(atan+1?1)

2(atan+1?1)

＜0
化简得：

at(2Sn+1?an+1)?1

(atan+1?1)

＜0即[a_t（2S_n+1-a_n+1）-1]（a_ta_n+1-1）＜0（7分）
∵2S_n+1-a_n+1＞a_n+1＞0
∴(at?

1

2Sn+1?an+1

)(at?

1

an+1

)＜0
∴

1

2Sn+1?an+1

＜at＜

1

an+1

（9分）
∵a_n=（

1

2

）^n-2，S_n=4[1-（

1

2

）ⁿ]
∴

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