Question

已知函数f（x）=|x+1x?1|，则关于x的方程f2（x）-6f（x）+c=0（c∈R）有6个不同实数解的充要条件是______

已知函数f（x）=|x+1x?1|，则关于x的方程f2（x）-6f（x）+c=0（c∈R）有6个不同实数解的充要条件是______．

Answer 1

设t=f（x），则方程f²（x）-6f（x）+c=0（c∈R）等价为t²-6t+c=0（c∈R），
当x＞0时x+

1

x

?1≥2-1=1，
当x＜0时x+

1

x

?1≤-2-1=-3，
即x＞0时f（x）=|x+

1

x

?1|≥2-1=1，
当x＜0时f（x）=|x+

1

x

?1|≥3，
作出f（x）=|x+

1

x

?1|的图象如图：
则当t＜1时，方程f（x）=t有0解，
当t=1时，方程f（x）=t有1解，
当t=3时，方程f（x）=t有3解，
当1＜t＜3时，方程f（x）=t有2解，
当t＞3时，方程f（x）=t有4解．
若关于x的方程f²（x）-6f（x）+c=0（c∈R）有6个不同实数解，
则t²-6t+c=0的两个解t满足1＜t＜3或t＞3，
即c=-t²+6t，1＜t＜3或t＞3，
∵c=-t²+6t=-（t-3）²+9，
1＜t＜3或t＞3，
∴5＜c＜9
故答案为：（5，9）