已知椭圆x2+4y2=4，斜率为1的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求弦AB长的最大值；（2）求ABO面积的最大值及
已知椭圆x2+4y2=4，斜率为1的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求弦AB长的最大值；（2）求ABO面积的最大值及此时直线l的方程（O为坐标原点）．...
已知椭圆x2+4y2=4，斜率为1的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求弦AB长的最大值；（2）求ABO面积的最大值及此时直线l的方程（O为坐标原点）．
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（1）设l：y=x+b，代入x2+4y2=4，
整理得5x2+8bx+4b2-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-
，x1x2=
，
|AB|=
?|x1-x2|
=
?
=
．
由△＞0，得64b2-20（4b2-4）＞0，
解得b2＜5，
∴当b=0时，|AB|max=
．（7分）
（2）点O到直线l的距离d=
，
∴S△ABO=
|AB|?d=
整理得5x2+8bx+4b2-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-
| 8b |
| 5 |
| 4b2?4 |
| 5 |
|AB|=
| 1+12 |
=
| 2 |
| (x1+x2)2?4x1x2 |
=
| 4 |
| 5 |
| 10?2b2 |
由△＞0，得64b2-20（4b2-4）＞0，
解得b2＜5，
∴当b=0时，|AB|max=
4
| ||
| 5 |
（2）点O到直线l的距离d=
| |b| | ||
|
∴S△ABO=
| 1 |
| 2 |
