Question

f（x）=4x2?72?x，g（x）=x3-3a2x-2a（a＞0），若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f

f（x）=4x2?72?x，g（x）=x3-3a2x-2a（a＞0），若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则a的取值范围为______．

Answer 1

设t=2-x，则t∈[1，2]，y=4t+

9

t

-16
∴-4≤y≤-3
∴f（x）值域[-4，-3]，
∵g（x）=x³-3a²x-2a（a＞0），∴g′（x）=3x²-3a²=3（x+a）（x-a）
若0＜a≤

3

3

，则g（x）在x∈[0，1]上的值域[1-3a²-2a，-2a³-2a]；
若

3

3

＜a＜1，则g（x）在x∈[0，1]上的值域[-2a，-2a³-2a]；
若a≥1，则g（x）在x∈[0，1]上的值域[1-3a²-2a，-2a]；
由条件，对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，
故只须g（x）的值域包含f（x）的值域
∴

0＜a≤ 3 3 1?3a2?2a≤?4 ?2a3?2a≥?3

或

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