Question

已知（x-2x2）n（n∈N*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．（1）求展开式中各项系数的

已知（x-2x2）n（n∈N*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含x32的项；（3）求展开式中二项式系数最大的项．

Answer 1

由题意，第五项系数和第三项系数分别为

C

4 n

(?2)4，

C

2 n

(?2)2，并且

C 4 n (?2)4

C 2 n (?2)2

＝

10

1

，
化简得n²-5n-24=0，解得n=8或n=-3（舍去）．
（1）令x=1得各项系数和为（1-2）⁸=1；
（2）通项公式为T_r+1=

C

r 8

(

x

)8?r(?

2

x2

)r＝(?2)r

C

r 8

x4?

5r

2

，
令4-

5r

2

＝

3

2

，则r=1，
所以展开式中含x 

3

2

的项为T₂=-16x 

3

2

；
（3）由n=8知第五项的二项式系数最大，此时T₅=（-2）⁴C

4 8

x^-6=1120x^-6．