Question

已知函数f（x）=lnx-2x2+3x．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）证明：存在m∈（1，+∞），使得f（m）=f（

已知函数f（x）=lnx-2x2+3x．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）证明：存在m∈（1，+∞），使得f（m）=f（12）；（Ⅲ）记函数y=f（x）的图象为曲线Γ．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线Γ上的不同两点．如果在曲线Γ上存在点M（x0，y0），使得：①x0=x1+x22（a∈R）；②曲线Γ在点M处的切线平行于直线AB，则称函数f（x）存在“中值伴随切线”，试问：函数f（x）是否存在“中值伴随切线”，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′（x）=

1

x

-4x+3，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）_极大值=f（1）=1．
（Ⅱ）只需证明m＞1时，也有某个m使得f（m）=f（

1

2

），
令G（x）=f（x）-f（

1

2

），而f（

1

2

）=1-ln2＜1，
∴G（1）=f（1）-f（

1

2

）=ln2＞0，
又x→+∞时，G（x）→-∞，
∴必然存在m∈（1，+∞）使G（m）=0，
即f（m）=f（

1

2

）．
（Ⅲ）不存在，理由如下：
∵f′（x）=

1

x

-4x+3，
假设f（x）存在“中值伴随切线”，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），是曲线y=F（x）上的不同两点，且0＜x₁＜x₂，
则K_AB=

lnx2?lnx1

x2?x1

-2（x₁+x₂）+3，
曲线f（x）在M（x₀，y₀）处的斜率为：
K=f′（x₀）=

2

x1+x2

-2（x₁+x₂）+3，
∴

lnx2?lnx1

x2?x1

=

2

x1+x2

，
令

x2

x1

=t，t＞1，
上式可化为；lnt+

4

lnt

=2，
令h（t）=lnt+

4

t+1

，则h′（t）=

(t?1)2

t(t+1)2

．
因为t＞1，显然h′（t）＞0，所以h（t）在（1，+∞）上递增，显然有h（t）＞2恒成立．
所以在（1，+∞）内不存在t，使得lnt+

4

t+1

=2成立．
综上所述，假设不成立．
所以函数f（x）不存在“中值伴随切线”．