Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：①f

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）关于直线x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上是减函数；⑤f（2）=f（0），其中正确的序号是______．

Answer 1

∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x）， ∴f（x）=-f（x+1）=-[-f（x+1+1）]=f（x+2）， ∴f（x）是周期为2的函数，则①正确． 又∵f（x+2）=f（x）=f（-x）， ∴y=f（x）的图象关于x=1对称，②正确， 又∵f（x）为偶函数且在[-1，0]上是增函数， ∴f（x）在[0，1]上是减函数， 又∵对称轴为x=1． ∴f（x）在[1，2]上为增函数，f（2）=f（0）， 故③④错误，⑤正确． 故答案应为①②⑤．