Question

已知数列{an}中，a1=12，an+1=sin（π2an）（n∈N*）．证明：0＜an＜an+1＜1

已知数列{an}中，a1=12，an+1=sin（π2an）（n∈N*）．证明：0＜an＜an+1＜1．

Answer 1

证明：①n=1时，a₁=

1

2

，
a₂=sin（

π

2

a₁）=sin

π

4

=

2

2

．
∴0＜a₁＜a₂＜1，故结论成立．
②假设n=k时结论成立，
即0＜a_k＜a_k+1＜1，
则0＜

π

2

a_k＜

π

2

a_k+1＜

π

2

．
∴0＜sin（

π

2

a_k）＜sin（

π

2

a_k+1）＜1，
即0＜a_k+1＜a_k+2＜1，
也就是说n=k+1时，结论也成立．
由①②可知，对一切n∈N^*均有0＜a_n＜a_n+1＜1．