Question

在三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A 1 在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA 1 ⊥AC

在三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A 1 在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA 1 ⊥AC 1 ．（1）求证：AC 1 ⊥平面A 1 BC；（2）求二面角A 1 -BC-A的大小；（3）求CC 1 到平面A 1 AB的距离．

Answer 1

（1）证明：因为A 1 D⊥平面ABC，所以平面AA 1 C 1 C⊥平面ABC， 又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA 1 C 1 C， 得BC⊥AC 1 ，又BA 1 ⊥AC 1 所以AC 1 ⊥平面A 1 BC；（4分） （2）由（1）已证BC⊥平面AA 1 C 1 C，所以BC⊥AC，BC⊥A 1 C，∠A 1 CA为二面角A 1 -BC-A的平面角． 由AC 1 ⊥平面A 1 BC，得出AC 1 ⊥A 1 C，所以平行四边形AA 1 C 1 C为菱形． 由于A 1 在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，所以A 1 A=A 1 C，所以△A 1 CA为正三角形，得出∠A 1 CA=60° 即二面角A 1 -BC-A的大小为60° （3）由（2）四边形AA 1 C 1 C为菱形，△A 1 CA为正三角形， 故AA 1 =AC=2，∠A 1 AC=60°． 取AA 1 中点F，则AA 1 ⊥CF又AA 1 ⊥BC，所以AA 1 ⊥平面BCF，从而面A 1 AB⊥面BCF， 过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A 1 AB， 在Rt△BCF中， BC=2，CF= 3 ，故 CH= 2 21 7 ， 即CC 1 到平面A 1 AB的距离为 CH= 2 21 7