Question

已知圆方程x2+y2-2x-4y+m=0．（1）若圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点）求m的值；

已知圆方程x2+y2-2x-4y+m=0．（1）若圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点）求m的值；（2）在（1）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

Answer 1

（1）由x²+y²-2x-4y+m=0得（x-1）²+（y-2）²=5-m
由5-m＞0，可得m＜5…（2分）
于是由题意

x+2y?4＝0 x2+y2?2x?4y+m＝0

把x=4-2y代入x²+y²-2x-4y+m=0，得 5y²-16y+8+m=0…..（3分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y1+y2＝

16

5

，y1y2＝

8+m

5

…（4分）
∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=0…（5分）
∴5y₁y₂-8（y₁+y₂）+16=0
∴m＝

8

5

，满足题意…（8分）
（2）设圆心为（a，b），则a＝

x1+x2

2

＝

4

5

，b＝

y1+y1

2

＝

8

5

…．（9分）
半径r=

1

2

1+(?2)2

?|y1?y2|=

1

2

?

5

?

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