Question

已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两根为x1和x2，且（x1-2）（x1-x2）=0，则k的值是______

已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两根为x1和x2，且（x1-2）（x1-x2）=0，则k的值是______．

Answer 1

∵（x₁-2）（x₁-x₂）=0，
∴x₁-2=0或x₁-x₂=0．
①如果x₁-2=0，那么x₁=2，
将x=2代入x²+（2k+1）x+k²-2=0，
得4+2（2k+1）+k²-2=0，
整理，得k²+4k+4=0，
解得k=-2；
②如果x₁-x₂=0，
那么（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=[-（2k+1）]²-4（k²-2）=4k+9=0，
解得k=-

9

4

．
又∵△=（2k+1）²-4（k²-2）≥0．
解得：k≥-

9

4

．
所以k的值为-2或-

9

4

．
故答案为：-2或-

9

4

．