Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，AC⊥AB，AB=PA，点E是PD上的点，且DE=λEP（0＜λ

如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，AC⊥AB，AB=PA，点E是PD上的点，且DE=λEP（0＜λ≤1）．（Ⅰ）求证：PB⊥AC；（Ⅱ）求λ的值，使PB∥平面ACE；（Ⅲ）当λ=1时，求三棱锥E-ABC与四棱锥P-ABCD的体积之比．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PA⊥AC…（1分）
又∵AC⊥AB，PA∩AB=A，PA，AB?平面PAB，∴AC⊥平面PAB，…（3分）
又∵PB?平面PAB，∴PB⊥AC．…4 分
（Ⅱ）解：连接BD交AC于O，连接OE，

∵PB∥平面ACE，平面ACE∩平面PBD=OE，∴PB∥OE，…6 分
又∵O为BD的中点，∴E为PD的中点，故λ=1．…8 分
（Ⅲ）解：当λ=1时，三棱锥E-ABC与四棱锥P-ABCD的底面积之比是1：2，高之比也是1：2，
故三棱锥E-ABC与四棱锥P-ABCD的体积之比是1：4…12 分