Question

已知：如图，△ABC中，AB＝3，∠BAC＝120°，AC＝1，D为AB延长线上一点，BD＝1，点P在∠BAC的平分线上，

已知：如图，△ABC中，AB＝3，∠BAC＝120°，AC＝1，D为AB延长线上一点，BD＝1，点P在∠BAC的平分线上，且满足△PAD是等边三角形． 小题1:求证：BC＝BP；小题2:求点C到BP的距离．

Answer 1

小题1:证明：如图，连结PC． ∵AC＝1，BD＝1， ∴AC＝BD． ∵∠BAC＝120°，AP平分∠BAC， ∵△PAD是等边三角形， ∴PA＝PD，∠D＝60°． ∴∠1＝∠D． ∴△PAC≌△PDB． ∴PC＝PB，∠2＝∠3． ∴∠2＋∠4＝∠3＋∠4，∠BPC＝∠DPA＝60°． ∴△PBC是等边三角形，BC＝BP． 证法二：作BM∥PA交PD于M，证明△PBM≌△BCA． 小题2:解法一：如图，作CE⊥PB于E，PF⊥AB于F． ∵AB＝3，BD＝1， ∴AD＝4． ∵△PAD是等边三角形，PF⊥AB， ∴BF＝DF－BD＝1，     即点C到BP的距离等于 解法二：作BN⊥DP于N， 以下同解法一．

略