Question

（2013?福州）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE=3（1）

（2013?福州）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE=3（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求BN的长．





Answer 1

（1）证明：如图，
∵ME=1，AM=2，AE=

3

，
∴ME²+AE²=AM²=4，
∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°．
又∵MN∥BC，
∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC．
又∵OB是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；

（2）解：如图，连接ON．
在Rt△AEM中，sinA=

ME

AM

=

1

2

，
∴∠A=30°．
∵AB⊥MN，
∴

BN

=

BM

，EN=EM=1，
∴∠BON=2∠A=60°．
在Rt△OEN中，sin∠EON=

EN

ON

，
∴ON=

EN

sin∠EON

=

2 3

3

，
∴

BN

的长度是：

60?π

180

?

2 3

3

=

2 3

9

π．