Question

已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，W＞0，|φ|＜π2）的图象（如下图）所示，（1）求函数f（x）的解析

已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，W＞0，|φ|＜π2）的图象（如下图）所示，（1）求函数f（x）的解析式；写出函数取得最小值时的x取值集合；（2）求函数f（x）的单调增区间；（3）若f（x）-2≤m≤f（x）+3在x∈[-π2，0]上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）结合给出的三角函数的形式与图象，可知A=2，

3

4

T＝

11π

12

?

π

6

＝

3π

4

，
由

2π

ω

＝

3π

4

得，ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），代入点（

π

6

，2）得2sin（2×

π

6

+φ）=2，
∴

π

3

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z．
 又∵|φ|＜

π

2

，∴Φ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
当函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）取得最小值时，2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ，k∈Z．
解得x=

π

3

+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）取得最小值时的x取值集合为{x|x=

π

3

+kπ，k∈Z}
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得：?

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间是[?

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z．
（3）∵f（x）-2≤m≤f（x）+3在x∈[-

π

2

，0]上恒成立，
∴m要大于f（x）-2的最大值，要小于f（x）+3的最小值，
又∵函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）在x∈[-

π

2

，0]上的最大值为1，最小值为-2，
∴f（x）-2的最大值为-1，f（x）+3的最小值为1，
∴-1≤m≤1．