Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0．|φ|＜π2）在一个周期内的部分函数图象如图所示．（Ⅰ）

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0．|φ|＜π2）在一个周期内的部分函数图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式．（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．（Ⅲ）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由图可得当X=

1

3

时，函数有最大值2；当X=

4

3

时，函数有最小值-2；
∴A=2，
T=2=

2π

ω

，即ω=π
∴f（x）=2sin（πx+φ）
又∵函数图象过（

1

3

，2）点，|φ|＜

π

2

∴2=2sin（

1

3

π+φ），
解得φ=

π

6

∴f（x）=2sin（πx+

π

6

）
（II）令2kπ-

π

2

≤πx+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
则2k-

2

3

≤x≤2k+

1

3

，k∈Z
∴函数f（x）=2sin（πx+

π

6

）的单调递增区间为[2k-

2

3

，2k+

1

3

]，（k∈Z）
（III）由（II）的结论我们可得，
函数f（x）=2sin（πx+

π

6

）在区间[0，

1

3

]上单调递增，在区间[

1

3

，1]上单调递减，
∴当X=

1

3

时，函数f（x）=2sin（πx+

π

6

）取最大值2，当X=1时，函数f（x）=2sin（πx+

π

6

）取最小值-1．