Question

已知函数f(x)＝2cos(ωx+π6)（其中ω＞0x∈R）的最小正周期为10π．（1）求ω的值； （2）设α、β∈[0

已知函数f(x)＝2cos(ωx+π6)（其中ω＞0x∈R）的最小正周期为10π．（1）求ω的值； （2）设α、β∈[0，π2]，f(5α+53π)＝?65，f(5β?56π)＝1617，求cosαcosβ-sinαsinβ的值．（3）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

（Ⅰ）根据周期T＝

2π

ω

＝10π，所以ω＝

1

5

．…（3分）
（Ⅱ）由于f(5α+

5

3

π)＝2cos[

1

5

(5α+

5

3

π)+

π

6

]＝2cos(α+

π

2

)＝?2sinα＝?

6

5

，所以sinα＝

3

5

．…（5分）
由于 f(5β?

5

6

π)＝2cos[

1

5

(5β?

5

6

π)+

π

6

]＝2cosβ＝

16

17

，所以cosβ＝

8

17

．…（7分）
因为α、β∈[0，

π

2

]，所以cosα＝

1?sin2α

＝

4

5

，sinβ＝

1?cos2β

＝

15

17

，…（11分）
所以cos(α+β)＝cosαcosβ?sinαsinβ＝

4

5

×

8

17

?

3

5

×

15

17

＝?

13

85

．…（13分）
（Ⅲ）∵

f(x)＝2cos( x 5 + π 6 )

，由2kπ?π≤

x

5

+

π

6

≤2kπ，求得10kπ?

35π

6

≤x≤10kπ?

5π

6

 ，k∈Z，…（15分）
故函数的单调递增区间为 [10kπ?

35π

6

，10kπ?

5π

6

]，k∈Z．…（18分）