设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),且2f(x)+xf'(x)>x^2.求证:f(x)>0在R上恒成立.
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令g(x)=x^2f(x)-(1/4)x^4
g'(x) = 2xf(x) + x^2f'(x) - x^3
所以当x>0时，g'(x) > x^3 - x^3 = 0
当x<0时，g'(x) < x^3 - x^3 = 0
所以g(x) ≥ g(0) = 0
所以x^2f(x)≥(1/4)x^4
x≠0时，f(x) ≥ (1/4)x^2 > 0
x=0时，令条件中的x=0可得f(0)>0
所以f(x)>0在R上恒成立
g'(x) = 2xf(x) + x^2f'(x) - x^3
所以当x>0时，g'(x) > x^3 - x^3 = 0
当x<0时，g'(x) < x^3 - x^3 = 0
所以g(x) ≥ g(0) = 0
所以x^2f(x)≥(1/4)x^4
x≠0时，f(x) ≥ (1/4)x^2 > 0
x=0时，令条件中的x=0可得f(0)>0
所以f(x)>0在R上恒成立
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证明：〔（x＾2）＊f（x）〕’
＝（2x）＊f（x）＋（x＾2）＊f’（x）
＝x〔2f（x）＋xf’（x）〕
＞x＾3
余下自己想吧，提供个思路
＝（2x）＊f（x）＋（x＾2）＊f’（x）
＝x〔2f（x）＋xf’（x）〕
＞x＾3
余下自己想吧，提供个思路
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