Question

疑难解答，高分悬赏！（2009天津文10）设函数f（x）在R上的导函数为f'（x），且2f（x）+xf'（x）>x2，下面

（2009天津文10）设函数f（x）在R上的导函数为f'（x），且2f（x）+xf'（x）>x2，下面的不等式在R上恒成立的是（）

A.f（x）>0B.f（x）<0
C.f（x）>xD.f（x）

特殊值法代入验证
∵2f（0）+0>0即f（0）>0
∴排除B、D
∵f（x）在R上可导，必连续
若f（x）>x成立，x>0时f（x）>0成立，这与唯一正确选项矛盾
∴f（x）>x不成立
（f（x）>0成立，不能保证f（x）>x成立），故选A。
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sx.zxxk.com/Article/81266.html
这个是这个网站里的“解法3”
有点儿疑问

就是这里————

【若f（x）>x成立，x>0时f（x）>0成立，这与唯一正确选项矛盾
∴f（x）>x不成立
（f（x）>0成立，不能保证f（x）>x成立），故选A。】

其中————

【若f（x）>x成立，x>0时f（x）>0成立，这与唯一正确选项矛盾
】

为什么矛盾？提问的是“恒成立”，而x的取值并没有规定是多少。所以在f(x)>x的情况下，x<0时f(x)>0是不一定成立的。故【这与唯一正确选项矛盾
】这个理论有漏洞。不是吗？所以【f（x）>x不成立
】这也是证明不了的。【f（x）>0成立，不能保证f（x）>x成立】和这个同理啊，都是不能保证吧？

就是这么个疑问。高人请帮忙解开我的疑惑！

不用解释多余的东西，我问的地方详细解答就好！分随便给，100还是200都行！

Answer 1

你是对的。
答案里的意思其实是不对的。
里面存在逻辑错误。
举个例子，f（x）=x+1
由答案的意思，因为f（x）>x成立，x>0时f（x）>0成立，则选A.f（x）>0。
但我们可以很清楚的知道其实f（x）=x+1>0并不恒成立对于任意x属于R。

Answer 2

我和您有同感。
取f(x)=x^2+0.1,则f'(x)=2x,易知2f（x）+xf'（x）>x^2恒成立，但f(0.5)<0.5,C不成立。
反过来，取f(x)=x+1,C成立，但是f'(x)=1,
2f（x）+xf'（x）>x^2变为2(x+1)+x>x^2,不会恒成立，
所以弃C,选A.

Answer 3

1\
解：根据已知条件构造辅助函数设F(x)=x^2f(x),
所以，F'(x)=2xf(x)+x^2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]因为2f(x)+xf'(x)>0
所以，当x>0时,F'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>x×x^2
即F'(x)>x^3>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数
当x<0，即-x>0时,F'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]=-(-x)[2f(x)+xf'(x)]
因为(-x)[2f(x)+xf'(x)]>(-x)×x^2
所以，-(-x)[2f(x)+xf'(x)]<x^3即F'(x)<x^3<0,F(x)在(-∞,0)上是减函数
所以，当x=0时，F(x)最小所以，
F(x)=x^2f(x)≥F(0)=0(当且仅当x=0取等号）
所以，f(x)≥0，只有x=0时才可能取等号，
但2f(0)+0f'(0)>0^2,即f(0)>0
所以，f(x)>0

2\
构造辅助函数

令f（x）=x2+m（m∈R），则2f（x）+xf（x）=2x2+2m+2x2>x2恒成立

∴唯有m>0，此时显然可排除B、D。又f（x）-x=x2-x+m>0在R上恒成立←→=1-4m<0，故当m≤时，C不成立，可见对此f（x），B、C、D均不真，故选A。

祝你新年快乐,全家幸福~

Answer 4

若 f（x)＞0 成立 ，x＜0时 f（x）＞0＞x 成立 这与唯一正确选项矛盾
所以 f（x)＞0 不成立
故选C